Q.私立から私立に実際に編入することができるのでしょうか

場合によります。
当教室において私立から私立へ編入された方もいらっしゃいます。

その場合、在学されている学校長の許可があれば受験できるところと、受験時に公立小学校に籍があればいいという小学校もありました。

その学校によって決められている受験資格があるので、必ず受験を考えている小学校で受験資格を確認してください。

また、私立→私立の場合、面接等で必ずその理由を聞かれますので、きちんと応えられるようにしておきましょう。